Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой $l$ ($\vec{s} = (q, r, s)$ - направляющий) и плоскостью $\sigma: Ax + By + Cz + D = 0$ - угол между прямой и её проекцией, он равен: $$\sin\alpha = \cos\beta = \dfrac{|\vec{n}\vec{s}|}{|\vec{n}||\vec{s}|} = \dfrac{|qA + rB + sC|}{\sqrt{q^{2} + r^{2} + s^{2}} \cdot \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$$

!line_plane_angle.png Пусть $l_{1}$ - проекция $l$ на $\sigma$, $l_{2} \perp \sigma$, $\alpha$ - угол между $l$ и $l_{1}$, $\beta$ - угол между $l$ и $l_{2}$. Так как угол между прямой и плоскостью не больше $90^{\circ}$, $\alpha + \beta = 90^{\circ}$, отсюда получаем указанную выше формулу. $\square$